Differential calculus ng mga pag-andar ng isa at ng ilang mga variable

Differential calculus ay isang sangay ng matematika na pagtatasa, na siyang nagsusuri ng mga hinalaw na, differentials at ang kanilang paggamit sa pag-aaral ng function.

Ang kuwento ng

Differential calculus lumitaw bilang isang malayang disiplina sa ikalawang kalahati ng ika-17 siglo, salamat sa gawain ng Newton at Leibniz, na formulated ang pangunahing probisyon sa pagkalkula ng mga differentials at napansin ang koneksyon sa pagitan ng integration at pagkita ng kaibhan. Dahil disiplina binuo niya kasama ang mga pagkalkula ng mga integrals, at dahil doon na bumubuo sa batayan ng matematikal na pagsusuri. Ang paglitaw ng mga calculi binuksan ng isang bagong modernong panahon sa matematika mundo at sanhi ng paglitaw ng mga bagong disiplina sa agham. Gayundin extended ang posibilidad ng paglalapat ng matematika sa natural na agham at engineering.

pangunahing mga konsepto

Differential calculus ay batay sa mga pangunahing mga konsepto ng matematika. Ang mga ito ay: isang tunay na numero, pagpapatuloy at limitasyon ng pag-andar. Pagkatapos ng isang oras, sila ay gumawa ng isang modernong hitsura, salamat sa mahalaga at kaugalian calculus.

Ang proseso ng paglikha

Pormasyon ng mga kaugalian calculus sa anyo ng isang application, at pagkatapos ay ang pang-agham na paraan ng naganap bago ang paglitaw ng pilosopiko teorya, na kung saan ay nilikha sa pamamagitan ng Nikolay Kuzansky. Ang kanyang trabaho ay itinuturing na sa gitna ng ebolusyon pag-unlad mula sa sinaunang agham ng paghatol. Sa kabila ng katotohanan na ang pilosopo sa kanyang sarili ay hindi isang mathematician, ang kanyang kontribusyon sa pag-unlad ng matematikal na agham ay hindi maikakaila. Cusa, isa sa mga unang labas ng pagsasaalang-alang ng arithmetic bilang ang pinaka-tumpak na agham, matematika paglagay ng oras sa tanong.

Sa mga sinaunang mathematicians unibersal na criterion ay isang yunit, habang ang mga pilosopo iminungkahi bilang isang bagong sukatan infinity ibalik ang eksaktong numero. Sa koneksyon na ito Baliktad na representasyon ng katumpakan sa matematikal na science. Pang-agham na kaalaman, sa kanyang view, ay nahahati sa may talino at intelligent. Ang ikalawa ay mas tumpak, ayon sa mga siyentipiko, dahil ang dating ay nagbibigay lamang ng humigit-kumulang na resulta.

idea

Ang pangunahing ideya at ang konsepto ng mga kaugalian calculus na nauugnay sa ang pag-andar sa isang maliit na kabayanan ng ilang mga punto. Para sa ito ay kinakailangan upang lumikha ng isang matematikal na kasangkapan upang gumana nang mga pag-aaral na ang pag-uugali sa isang maliit na kabayanan ng mga puntos na naka-install na malapit sa pag-uugali ng isang linear function o isang polinomyal. Batay sa kahulugan ng mga hinalaw at kaugalian.

Ang paglitaw ng mga konsepto ng hinangong ay sanhi ng isang malaking bilang ng mga problema ng likas na mga agham at matematika, na kung saan ang humantong sa pagpapasiya ng mga limitasyon ng mga halaga ng parehong uri.

Isa sa mga pangunahing mga gawain na ibinibigay bilang isang halimbawa, na nagsisimula sa mga pinakalumang mga klase sa paaralan, ay upang matukoy ang bilis ng galaw ng isang punto sa isang tuwid na linya at ang pagbuo ng mga padaplis na linya sa curve na ito. kaugalian ng mga naka-link sa ito, dahil ito ay posible upang matantiya ang pag-andar sa isang maliit na kabayanan ng punto ng isang linear function.

Kumpara sa ang konsepto ng kinopyang ng isang function ng isang tunay na variable, ang kahulugan ng differentials lang pumasa sa function ng pangkalahatang kalikasan, sa mga partikular na ang mga imahe ng isang Euclidean space sa isa pa.

deribatibo

Hayaan ang point ay gumagalaw sa direksyon ng y-axis, para sa oras namin kumuha ng x, na kung saan ay sinusukat mula sa simula ng isang sandali. Ilarawan tulad ng isang kilusan ay posible sa pamamagitan ng mga function y = f (x), na kung saan ay kaugnay sa bawat punto ng oras x coordinate displaceable point. Ang pagpapaandar na tawag sa mechanics na kumuha batas ng paggalaw. Ang pangunahing katangian ng ang galaw, lalo na hindi pantay, ay ang madalian bilis. Kapag ang punto ay inilipat sa kahabaan ng y-axis ayon sa mga batas ng mekanika, ang random na punto ng oras ito acquires coordinate x f (x). Sa punto ng oras x + Δh, kung saan Δh ay kumakatawan sa pagdagdag ng oras, ito ay kordinaty f (x + Δh). Kaya nabuo formula Δy = f (x + Δh) - f (x), na kung saan ay tinatawag na isang pagdagdag function. Ito ay isang punto ng path traversed sa panahon ng oras mula sa x sa x + Δh.

Sa pagkakaroon ng kaugnayan sa paglitaw ng bilis sa oras na hinalaw ay pinamamahalaan. Ang hinangong ng anumang pag-andar sa isang nakapirming punto na tinatawag na limitasyon (kung ipagpalagay na ito ay umiiral). Maaari itong ma-refer sa mga tiyak na mga character:

f '(x), y', ý, df / dx, dy / dx, Df (x).

Ang proseso ng pagkalkula ng mga hinalaw na ng tawag pagkita ng kaibhan.

Differential calculus ng mga pag-andar ng ilang mga variable

Ang pamamaraan na ito ay inilapat kapag kinakalkula ang function na pag-aaral, ilang mga variable. Kapag may mga dalawang variable x at y, ang bahagyang hinangong may paggalang sa x sa punto A ay tinatawag na ang mga kinopyang ng function na ito sa x na may isang nakapirming y.

Maaaring ipinapahiwatig ng ang mga sumusunod na simbolo:

f '(x) (x, y), u' (x), ∂u / ∂x at ∂f (x, y) '/ ∂x.

Mga kinakailangang kasanayan

Upang matagumpay na malaman at ma-malutas diffury kinakailangang mga kasanayan sa integration at pagkita ng kaibhan. Upang gawing mas madali upang maunawaan ang mga kaugalian equation, ay dapat na naiintindihan topic hinalaw at indefinite integral. Gayundin ay hindi nasaktan upang malaman upang hanapin ang hinangong ng implicit function. Ito ay dahil sa ang katunayan na sa proseso ng pag-aaral ay madalas na ginagamit ng integrals at pagkita ng kaibhan.

Mga uri ng mga kaugalian equation

Halos lahat ng mga kontrol sa trabaho na kaugnay sa ang unang-order kaugalian equation, may mga 3 uri ng mga equation: homogenous, na may maihihiwalay variable, linear inhomogeneous.

Mayroong higit bihirang species equation na may kabuuang differentials, Bernoulli equation, at iba pa din.

Fundamentals solusyon

Upang magsimula, dapat naming tandaan ay algebraic equation ng isang paaralan ng kurso. naglalaman ang mga ito ang mga variable at mga numero. Upang malutas ang mga maginoo equation ay dapat mahanap ang maraming ng mga numero na masiyahan ang isang tinukoy na kondisyon. Karaniwan, ang mga equation ay may isang ugat, at para sa pagpapatunay ay dapat lamang palitan ang halaga na ito sa lugar hindi kilala.

Ang kaugalian equation ay katulad sa ito. Sa pangkalahatan, isang equation ng unang pagkakasunod-sunod binubuo ng:

• Independent variable.
• Ang isang hinalaw ng unang function.
• Function o umaasa variable.

Sa ilang mga kaso, maaaring mayroong walang hindi kilala, xoy, ngunit ito ay hindi bilang mahalaga bilang na ito ay kinakailangan na magkaroon ng unang hinangong, na walang mas mataas na pagkakasunod-sunod derivatives upang ang solusyon at ang kaugalian calculus ay totoo.

Malutas ang kaugalian equation - ang ibig sabihin nito upang mahanap ang hanay ng lahat ng mga function na ay angkop ibinigay expression. Ang nasabing mga hanay ng mga function ay madalas na tinatawag sa pangkalahatang solusyon control.

integral calculus

Integral calculus ay isa sa mga seksyon ng matematikal na pagsusuri, na kung saan Sinusuri ang konsepto ng integral, mga katangian at pamamaraan ng kaniyang pagkalkula.

Kadalasan ang pagkalkula ng integral ay nangyayari kapag ang pagkalkula ng mga lugar ng isang curvilinear hugis. Sa pamamagitan ng ito ay nangangahulugan ng isang limitasyon ng lugar, patungo kung saan ang isang paunang natukoy na lugar ng inscribed polygon hugis na may isang unti-unti pagtaas sa kanyang kamay, at ang data side maaaring gawin mas mababa kaysa sa anumang dati nang tinukoy na arbitrary maliit na halaga.

Ang pangunahing ideya sa pagkalkula ng mga lugar ng anumang geometric na hugis ang pagkalkula ng mga lugar ng isang parihaba, at pagkatapos ay doon ay isang katibayan na ang lugar ay katumbas ng produkto ng ang haba ng lapad. Pagdating sa geometry, at pagkatapos ang lahat ng mga constructions ay ginawa gamit ang isang ruler at compass, at pagkatapos ay ang ratio ng haba sa lapad ay isang rational na halaga. Kapag kinakalkula ang lugar ng isang right triangle ay maaaring tinutukoy na kung inilagay mo ang isang susunod na tatsulok, isang rectangle ay nabuo. Sa lugar ng paralelogram ay kinakalkula sa isang katulad ngunit bahagyang mas kumplikadong paraan, sa loob ng isang rektanggulo at isang tatsulok. Sa lugar ng polygon ay itinuturing ng triangles kasama sa ito.

Sa pagtukoy ng awa ng arbitrary, ang paraan na ito ay hindi magkasya ang curve. Kung masira namin ito sa mga indibidwal na mga parisukat, mananatili itong unfilled mga lugar. Sa kasong ito, subukang gamitin ang dalawang tunika, na may mga parihaba sa itaas at sa ibaba, bilang isang resulta ng mga isama ang mga graph ng pag-andar at hindi kabilang. Mahalaga dito ay isang paraan upang basagin ang mga parihaba. Gayundin, kung lubos naming break mas at mas nabawasan, ang lugar ng tuktok at ibaba ay dapat magsalubong sa isang tiyak na halaga.

Dapat itong bumalik sa isang paraan para sa naghihiwalay sa parihaba. Mayroong dalawang mga popular na pamamaraan.

Riemann ay formalized ang kahulugan ng mahalaga, na nilikha ng Leibniz at Newton, bilang ang lugar ng subgraph. Sa kasong ito, isinasaalang-alang namin ang isang pigura na binubuo ng isang tiyak na bilang ng vertical parihaba na nakuha sa pamamagitan ng paghati sa pagitan. Kapag paglabag ng pagbaba mayroong isang limitasyon sa kung saan ang pinaliit na lugar tulad ng isang figure, ang limitasyon na ito ay tinatawag na Riemann integral ng isang function sa isang tinukoy na pagitan.

Ang ikalawang paraan ay upang bumuo ng ang Lebesgue mahalaga, na binubuo sa ang katunayan na sa lugar ng paghihiwalay tinukoy na lugar sa bahagi ng integrand at paghahanda pagkatapos ay ang mahalagang kabuuan ng mga halaga na nakuha sa mga lupaing ito, sa mga pagitan na hinati nito na hanay ng mga halaga, at pagkatapos ay summed may kaukulang sukat ng kabaligtaran imahe ng mga integrals.

modernong mga pantulong

Isa sa mga pangunahing benepisyo para sa pag-aaral ng mga kaugalian at integral calculus Fikhtengol'ts sinulat - "ng mga kaugalian at integral calculus." Ang kanyang aklat-aralin ay isang pangunahing tool para sa pag-aaral ng matematikal na pagsusuri, na kung saan ay nakipagpunyagi sa maraming mga edisyon at salin sa ibang wika. Nilikha para sa mga estudyante at para sa isang mahabang panahon na ginagamit sa isang iba't ibang mga pang-edukasyon na institusyon tulad ng isa sa mga pangunahing benepisyo ng pag-aaral. Nagbibigay ito sa teoretikal na impormasyon at mga praktikal na kasanayan. Unang inilathala sa 1948.

Algorithm na pananaliksik pag-andar

Upang galugarin ang mga pamamaraan ng mga kaugalian calculus function, kailangan mong sundin ay naka-ibinigay na algorithm:

1. Hanapin ang domain ng pag-andar.
2. Hanapin ang mga ugat ng binigyan equation.
3. Kalkulahin ang extremes. Upang gawin ito, kinakalkula namin ang mga hinalaw at ang punto kung saan ito ay katumbas ng zero.
4. Kami ay kapalit ang halaga na nakuha sa Eq.

Varieties ng mga kaugalian equation

Control ng unang order (sa kabilang banda, kaugalian calculus ng isang variable) at ang kanilang mga uri:

• Sa maihihiwalay variable equation: f (y) dy = g (x) dx.
• Ang pinakasimpleng equation o kaugalian calculus function ng isang variable, ang pagkakaroon ng formula: y '= f (x).
• Ang guhit unang-order nonuniform control: y '+ P (x) y = T (x).
• Bernoulli equation na kaugalian: y '+ P (x) y = Q (x) y a.
• Equation kabuuang differentials na may: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

Ang kaugalian equation ng pangalawang order at ang kanilang mga uri:

• Homogenous linear pangalawang order na kaugalian equation na may pare-pareho ^{coefficients: y n + py '+ QY} = 0 p, q ay kabilang R.
• Inhomogeneous linear pangalawang order na kaugalian equation na may pare-pareho coefficients ^{halaga: y n + py '+ QY} = f (x).
• Homogenous na mga guhit kaugalian ^{equation: y n + p (x)} y '+ q (x) y = 0, at inhomogeneous ikalawang sunod ^{equation: y n + p (x)} y' + q (x) y = f (x).

Differential equation ng mas mataas na mga order at ang kanilang mga uri:

• Ang kaugalian equation, na nagpapahintulot sa pagbabawas ng ^{order: F (x, y (k} ), y (k + ^{1), .., y (n)} = 0.
• Ang isang linear equation ng mas mataas na pagkakasunod-sunod ^{_{homogenous: y (n) + f (}} n- ₁₎ y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = 0, at ^{_{inhomogeneous: y (n) + f (}} n _-1) y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = f (x).

Yugto ng pag-solve ang problema sa mga kaugalian equation

Sa tulong ng remote control ay lutasin hindi lamang sa matematika o pisikal na mga problema, ngunit din ng iba't-ibang mga problema sa biology, ekonomiya, sosyolohiya at iba pa. Sa kabila ng iba't ibang uri ng mga paksa, dapat sundin ang isang solong pagkakasunod-sunod logic para sa paglutas ng mga problemang ito:

1. Pagguhit up control. Isa sa mga pinakamahirap na yugto, na nangangailangan ng maximum na katumpakan, dahil ang anumang pagkakamali ay hahantong sa ganap na maling resulta. Ito ay kinakailangan upang isaalang-alang ang lahat ng mga kadahilanan na nakakaapekto sa proseso at matukoy paunang kondisyon. Dapat din ito batay sa mga katotohanan at mga lohikal na konklusyon.
2. Para sa paglutas ng equation. Ang prosesong ito ay mas madali sa unang punto, dahil ito ay nangangailangan lamang ng mahigpit na pagpapatupad ng matematikal na mga kalkulasyon.
3. Pagsusuri at pagsusuri ng mga resulta. Nagmula solusyon ay dapat na tasahin para sa pag-install ng mga praktikal at panteorya halaga ng mga resulta.

Ang isang halimbawa ng paggamit ng kaugalian equation sa medisina

Gamit ang remote control sa larangan ng medisina ay natagpuan sa ang konstruksiyon ng epidemiological mathematical modelo. Hindi namin dapat kalimutan na ang mga equation ay matatagpuan din sa biology at kimika, na kung saan ay malapit sa mga gamot, dahil ito ay gumaganap ng isang mahalagang papel sa pag-aaral ng iba't ibang mga biological populasyon at kemikal na proseso sa katawan ng tao.

Sa halimbawang ito, ang epidemya pagkalat ng impeksiyon ay maaaring tratuhin sa isang liblib na komunidad. Ang mga naninirahan ay nahahati sa tatlong uri:

• Infected, ang bilang ng x (t), na kung saan ay binubuo ng mga indibidwal, mga nakakahawang mga carrier, ang bawat isa ay nakakahawa (incubation period ay maikli).
• Ang ikalawang uri ay kabilang ang madaling kapitan indibidwal y (t), ay maaaring impeksyon sa pamamagitan ng contact na may mga nahawaang.
• Ang ikatlong uri ay kabilang ang refractory indibidwal z (t), na kung saan ay immune o nawala dahil sa sakit.

Bilang ng mga indibidwal patuloy na, nang pinapanatili ang kapanganakan, natural na pagkamatay at migration ay hindi isaalang-alang. Sa core ay magiging dalawang hypotheses.

Ang porsyento ng mga saklaw sa isang tiyak na punto ng oras ay katumbas ng x (t) y (t) (batay sa palagay sa teorya na ang bilang ng mga kaso sa proporsyon sa bilang ng mga panulukan sa pagitan ng mga pasyente at madaling kapitan miyembro, kung saan sa unang approximation ay proporsyonal sa x (t) y (t)), sa samakatuwid ang bilang ng mga kaso ay ang pagtaas, at ang bilang ng madaling kapitan bumababa sa isang rate na kung saan ay kinakalkula sa pamamagitan ng formula palakol (t) y (t) (a> 0).

Bilang ng mga non-tagatugon hayop na namatay o nakuha kaligtasan sa sakit, nadagdagan sa isang rate na kung saan ay proporsyonal sa bilang ng mga kaso, bx (t) (b> 0).

Bilang isang resulta, maaari mong i-set up ng isang sistema ng mga equation sa lahat ng tatlong mga tagapagpabatid sa batayan ng kanyang mga konklusyon.

EXAMPLE paggamit economics

Differential calculus ay madalas na ginagamit sa pang-ekonomiyang pag-aaral. Ang pangunahing gawain sa pang-ekonomiyang pag-aaral ay itinuturing na ang pag-aaral ng mga halaga ng ekonomiya, na kung saan ay naka-tala sa anyo ng mga function. Ginagamit ito sa paglutas ng mga problema tulad ng mga pagbabago sa pagtaas ng income tax kaagad pagkatapos, entry fees, mga pagbabago sa mga kita kapag ang pagbabago ng halaga ng mga produkto, sa kung ano ang proporsyon ay maaaring pinalitan ng retiradong empleyado na may bagong equipment. Upang malutas ang naturang problema, ito ay kinakailangan upang makagawa ng isang komunikasyon function ng mga papasok na mga variable, kung saan, matapos na pinag-aralan sa pamamagitan ng kaugalian calculus.

ito ay madalas na kinakailangan upang mahanap ang pinaka-optimal sa pagganap sa mga pang-ekonomiyang globo: maximum pagiging produktibo, ang pinakamataas na kita, hindi bababa sa gastos at iba pa. Ang bawat naturang sangkap ay isang katangian ng isa o higit pang mga argumento. Halimbawa, ang produksyon ay maaaring ituring bilang isang katangian ng labor at capital. Sa ganitong koneksyon, sa paghahanap ng isang angkop na halaga ay maaaring mabawasan sa paghahanap ng maximum o minimum na isang katangian ng isa o higit pang mga variable.

Ang ganitong mga problema lumikha ng isang klase ng extremal problema sa larangan ng ekonomya, na kung saan kailangan mong kaugalian calculus. Kapag ang pang-ekonomiyang mga tagapagpahiwatig ay kinakailangan upang i-minimize o i-maximize bilang isang katangian ng iba pang mga parameter, ang increment ratio maximum point function na argumento ay may posibilidad na zero kung ang pagdagdag ng argument ay may gawi na zero. Sa kabilang banda, kapag ang ganoong reaksiyon ay may gawi na ng isang tiyak na positibo o negatibong halaga, ang mga tinukoy na punto ay hindi angkop, dahil sa pamamagitan ng pagdaragdag o pagbabawas ng ang argument ay maaaring mabago nakasalalay halaga sa ang nais na direksyon. Sa kaugalian calculus terminolohiya, ito ay nangangahulugan na ang mga kinakailangang mga kondisyon para sa maximum na pag-andar ay isang zero na halaga ng kanyang mga hinangong.

Ang ekonomiya ay hindi bihira problema ng paghahanap ng mga extremum ng isang pag-andar ng ilang mga variable, dahil pang-ekonomiyang mga tagapagpahiwatig ay binubuo ng maraming mga kadahilanan. Ang ganitong mga isyu ay well naiintindihan sa teorya ng pag-andar ng ilang mga variable, ang paraan ng pagkalkula ng mga kaugalian. Ang ganitong problema ay kinabibilangan ng hindi lamang maximized at nai-minimize function, ngunit din limitasyon. Ang mga katanungan na nauugnay sa matematikal programming, at sila ay malulutas sa tulong ng mga espesyal na binuo pamamaraan ay batay din sa sangay na ito ng agham.

Kabilang sa mga pamamaraan ng mga kaugalian calculus ginamit sa ekonomiya, isang mahalagang seksyon ay ang tunay na pagsubok. Sa pang-ekonomiyang globo, ang termino ay tumutukoy sa isang hanay ng mga pamamaraan ng pananaliksik ng variable na pagganap at mga resulta kapag binago mo ang lakas ng tunog ng paglikha, consumption, batay sa isang pagtatasa ng kanilang mga halaga limitasyon. Paglilimita indikasyon itinuturing na hinalaw o ang partial derivatives may ilang mga variable.

Differential calculus ng ilang mga variable - isang mahalagang paksa ng matematikal na pagsusuri. Para sa isang detalyadong pag-aaral, maaari kang gumamit ng iba't-ibang mga pantulong sa pagtuturo sa mas mataas na institusyon ng edukasyon. Isa sa mga pinaka-tanyag na nilikha Fikhtengol'ts - "ng mga kaugalian at integral calculus." Gaano karami ng ang pangalan para sa solusyon ng mga kaugalian equation ng marami kahalagahan na magkaroon ng mga kasanayan upang gumana sa integrals. Kapag may isang kaugalian calculus ng mga pag-andar ng isang variable, ang desisyon ay magiging mas madali. Kahit na, dapat itong nabanggit, ito ay sumusunod sa parehong mga pangunahing panuntunan. Sa pagsasanay, upang siyasatin ang pag-andar ng mga kaugalian calculus, sundin lang ang mga umiiral na algorithm, na kung saan ay ibinigay sa high school, at tanging ang isang maliit na kumplikado sa pagpapakilala ng mga bagong variable.