Linear at homogenous na kaugalian equation ng unang order. mga halimbawa ng mga solusyon

Sa tingin ko dapat naming magsimula sa kasaysayan ng maluwalhating mathematical tool tulad ng kaugalian equation. Tulad ng lahat ng mga kaugalian at integral calculus, ang mga equation inimbento ng Newton sa huling bahagi ng ika-17 siglo. Siya ay naniniwala na ito ay ang kanyang pagtuklas kaya mahalaga na kahit na ang mga naka-encrypt na mensahe, na ngayon ay maaaring isalin bilang mga sumusunod: ". Ang lahat ng mga batas ng likas na katangian na inilarawan sa pamamagitan ng kaugalian equation" Ito ay maaaring mukhang isang pagmamalabis, ngunit ito ay totoo. Ang anumang batas ng pisika, kimika, biology, ay maaaring inilarawan sa pamamagitan ng mga equation.

Isang malaking kontribusyon sa pag-unlad at paglikha ng teorya ng kaugalian equation ay may matematika ng Euler at Lagrange. Nasa ika-18 siglo sila ay natuklasan at binuo sa kung ano ngayon ay nag-aaral sa senior unibersidad kurso.

Ang isang bagong milestone sa pag-aaral ng mga kaugalian equation ay nagsimulang salamat sa Anri Puankare. Siya ay lumikha ng isang "husay teorya ng kaugalian equation", na, na sinamahan ng ang teorya ng pag-andar ng kumplikadong variable nag-ambag nang malaki sa mga pundasyon ng topology - ang agham ng espasyo at mga katangian nito.

Ano ang mga kaugalian equation?

Maraming mga tao ay takot ng ang pariralang "kaugalian equation". Gayunman, sa artikulong ito kami ay naglakbay nang detalyado ang kakanyahan ng mga ito napaka-kapaki-pakinabang na mathematical tool na kung saan ay talagang hindi bilang kumplikado bilang ito tila mula sa pamagat. Upang magsimulang makipag-usap tungkol sa isang first-order kaugalian equation, kailangan mo munang maging pamilyar sa ang pangunahing mga konsepto na likas na nauugnay sa kahulugan na ito. At magsisimula kami sa mga kaugalian.

kaugalian

Maraming mga tao alam ng term na ito mula noong high school. Gayunman, pa rin tumira sa mga ito nang detalyado. Isipin ang graph ng function. Maaari naming taasan ito upang tulad ng isang lawak na ang anumang sa mga segment ay nagiging isang tuwid na linya. Makikita tumagal ng dalawang puntos na walang hanggan malapit sa bawat isa. Ang pagkakaiba sa pagitan ng kanilang mga coordinate (x o y) ay katiting na katiting. At ito ay tinatawag na kaugalian at mga character maitalaga dy (kaugalian ng y) at dx (ang mga kaugalian ng mga x). Ito ay mahalaga na maunawaan na ang mga kaugalian ay hindi ang tunay na halaga, at ito ang kahulugan at ang pangunahing function.

At ngayon ay dapat mong isaalang-alang ang mga sumusunod na sangkap, na kung saan kami ay kailangan upang ipaliwanag ang mga kaugalian equation konsepto. Ito ay - derivative.

deribatibo

Lahat tayo ay dapat narinig sa paaralan at ito paniwala. Sabi nila na ang mga kinopyang - ay ang rate ng paglago o pagbaba ng pag-andar. Gayunman, ang kahulugan na ito ay nagiging mas nakalilito. Ipaalam sa amin subukan upang ipaliwanag ang mga hinalaw na mga tuntunin ng mga differentials. Sabihin bumalik sa katiting na katiting agwat ng pag-andar na may dalawang mga punto, na kung saan ay matatagpuan sa isang minimum na distansya mula sa bawat isa. Ngunit kahit na lampas na ito distance function ay oras upang baguhin sa ilang mga halaga. At upang ilarawan ang pagbabagong iyon at makabuo ng isang hinalaw na kung hindi man maisulat bilang ang ratio ng differentials: f (x) '= df / dx.

Ngayon ito ay kinakailangan upang isaalang-alang ang mga pangunahing katangian ng mga hinangong. May mga lamang tatlong:

1. Hango sa kabuuan o ang pagkakaiba ay maaaring kinakatawan bilang ang kabuuan o pagkakaiba ng mga derivatives: (a + b) '= isang' + b ', at (b)' = a'-b '.
2. Ang pangalawang ari-arian ay konektado sa multiplication. Mga gawang hango dito - ay ang kabuuan ng ang mga gawa ng isa pag-andar sa isa pang derivative: (a * b) '= isang' * b + a * b '.
3. Ang mga likhang ng pagkakaiba ay maaaring nakasulat na bilang ang mga sumusunod na equation: (a / b) '= (a' * ba * b ') / b ^2.

Lahat ng mga tampok na ito darating sa madaling-magamit para sa paghahanap ng solusyon sa mga kaugalian equation ng unang order.

Gayundin, may mga partial derivatives. Ipagpalagay na mayroon kaming isang function ng z, na kung saan ay depende sa mga variable x at y. Upang kalkulahin ang bahagyang hinangong ng function na ito, halimbawa, sa x, kailangan namin upang gawin ang mga variable y para sa pare-pareho at madaling makita ang pagkakaiba.

mahalaga

Ang isa pang mahalagang konsepto - integral. Sa katunayan ito ay ang kabaligtaran ng derivative. Integrals ilang mga uri, ngunit ang pinakasimpleng solusyon ng mga kaugalian equation, kailangan namin ang pinaka-walang kuwenta walang takda integrals.

Kaya, ano ay ang integral? Sabihin nating mayroon kaming ilang relasyon f of x. Isinasaalang-alang namin mula sa mga ito ang mga integral at kumuha ng isang function F (x) (ito ay madalas na tinutukoy bilang isang primitive), na kung saan ay isang hinalaw na ng orihinal na function. Samakatuwid F (x) '= f (x). Ito rin ay nagpapahiwatig na ang integral ng mga hinangong ay katumbas sa orihinal na function.

Solving kaugalian equation na ito ay napakahalaga upang maunawaan ang kahulugan at pag-andar ng integral, dahil napakadalas magkaroon upang gumawa ng mga ito upang makahanap ng mga solusyon.

Ang equation ay naiiba depende sa kanilang mga likas na katangian. Sa susunod na seksyon kami ay tumingin sa mga uri ng mga unang order kaugalian equation, at pagkatapos malaman kung paano upang malutas ang mga ito.

Mga Klase ng mga kaugalian equation

"Diffury" na hinati sa ang pagkakasunod-sunod ng mga derivatives na kasangkot sa mga ito. Kaya doon ay isang unahan, pangalawa, ikatlo o higit pang mga order. Maaari din nila ay nahahati sa ilang mga klase: pambihira at bahagyang.

Sa artikulong ito, kami ay isaalang-alang ang mga karaniwang kaugalian equation ng unang order. Mga halimbawa at mga solusyon usapan natin sa susunod na seksyon. Isinasaalang-alang namin lamang ang TAC sapagkat ito ay ang pinaka-karaniwang uri ng mga equation. Ordinaryong nahahati sa subspecies: may maihihiwalay variable, homogenous at magkakaiba. Susunod na matututunan mo kung paano sila ay naiiba mula sa bawat isa, at malaman kung paano upang malutas ang mga ito.

Sa karagdagan, ang mga equation ay maaaring pinagsama, kaya na pagkatapos naming makakuha ng isang sistema ng mga kaugalian equation ng unang order. Ang ganitong sistema, din namin tumingin sa at malaman kung paano malutas.

Bakit namin isinasaalang-alang lamang ang unang order? Dahil ito ay kinakailangan upang magsimula sa isang simpleng at ilarawan ang lahat ng mga kaugnay sa kaugalian equation, sa isang artikulo na ito ay imposible.

Equation na may maihihiwalay variable

Ito ay marahil ang pinaka-simpleng unang order kaugalian equation. Ang mga ito ay mga halimbawa na maaaring maisulat bilang: y '= f (x) * f (y). Upang masagot ang equation kailangan namin ang representasyon formula ng derivative bilang ratio ng differentials: y '= dy / dx. Sa pamamagitan nito ay matatamo natin ang equation: dy / dx = f (x) * f (y). Ngayon ay maaari naming i-sa ang paraan ng paglutas ng mga karaniwang mga halimbawa: paghiwalayin ang mga variable sa mga bahagi, ie fast forward ang lahat ng mga variable y sa bahagi kung saan may dy, at din gawin ang mga variable x ... makuha namin ang isang equation ng form: dy / f (y) = f (x) dx, na kung saan ay nakakamit sa pamamagitan ng pagkuha ng integrals ng dalawang bahagi. Huwag kalimutan ang tungkol sa pare-pareho na nais mong ilagay pagkatapos ng integration.

Ang solusyon ng anumang "diffura" - ay isang function ng x sa pamamagitan ng y (sa aming kaso), o kung mayroong isang de-numerong kondisyon, ang sagot ay isang numero. Tingnan natin ang kongkretong halimbawa ang buong kurso ng desisyon:

y '= 2y * kasalanan (x)

Ilipat ang mga variable sa iba't ibang direksyon:

dy / y = 2 * kasalanan (x) dx

Ngayon gawin ang mga integrals. Lahat ng mga ito ay matatagpuan sa isang espesyal na talahanayan ng mga integrals. At makuha namin ang:

ln (y) = -2 * cos (x) + C

Kung kinakailangan, maaari naming ipahayag ang "y" bilang isang katangian ng "X". Ngayon ay maaari naming sabihin na ang aming mga kaugalian equation ay malulutas, kung hindi tinukoy na kondisyon. Maaaring tinukoy na kondisyon, halimbawa, y (n / 2) = e. Pagkatapos namin ay simpleng kapalit ng halaga ng mga variable na ito sa desisyon at hanapin ang halaga ng pare-pareho. Sa aming halimbawa, ito ay 1.

Homogenous unang order kaugalian equation

Ngayon sa sa mas kumplikadong mga bahagi. Homogenous unang order kaugalian equation ay nakasulat sa pangkalahatang anyo na: y '= z (x, y). Dapat ito ay nabanggit na ang tamang pag-andar ng dalawang variable ay unipormeng, at hindi ito ay maaaring nahahati sa dalawang depende sa: z x at z ng y. Suriin kung ang equation ay homogenous o hindi, ay medyo simple: gumawa kami ng pagpapalit x = k * x at y = k * y. Ngayon kami ay i-cut ang lahat ng mga k. Kung ang mga titik ay bumaba, pagkatapos ay ang equation homogenous at maaaring ligtas na magpatuloy sa kanyang mga solusyon. Naghahanap ng maaga, sinasabi namin: ang prinsipyo ng ang solusyon ng mga halimbawang ito ay din tunay simple.

Kailangan namin upang gawin ang paghalili: y = t (x) * x, kung saan t - isang function na din ay depende sa x. Pagkatapos ay maaari naming ipahayag ang hinangong: y '= t' (x) * x + t. Substituting ang lahat ng ito sa aming orihinal na equation at simplifying ito, mayroon kaming ang halimbawa ng paghihiwalay ng mga variable t tulad ng x. Lutasin ang mga ito at makuha ang pagtitiwala ng t (x). Kapag nakuha namin ito, kailangan lang palitan ang aming nakaraang pagpapalit y = t (x) * x. Pagkatapos namin makuha ang pagtitiwala ng y sa x.

Upang gawin itong mas malinaw, dapat naming maunawaan ang isang halimbawa: x * y '= yx * e y / x.

Kapag check ang kapalit ng lahat ng pagtanggi. Kaya, ang equation ay talagang homogenous. Ngayon gumawa ng isa pang paghalili, usapan natin ang tungkol sa: y = t (x) * x at y '= t' (x) * x + t (x). Pagkatapos ng pagpapasimple ang mga sumusunod na equation: t '(x) * x = -e t. Magpasya namin upang makakuha ng isang sample na may hiwalay na mga variable at ^makuha namin ^{ang: e -t = ln (C *} x). Kailangan lang namin upang palitan t sa pamamagitan y / x (dahil kung y = t * x, pagkatapos ay t = y / x), at makuha namin ang ^{sagot: e -y / x = ln (} x * C).

Guhit kaugalian equation ng unang pagkakasunod-sunod

Ito ay oras upang isaalang-alang ang isa pang malawak na paksa. Titingnan namin magkakaiba unang-order kaugalian equation. Paano naiiba ang mga ito mula sa nakaraang dalawang? Sabihin Nakaharap ito. Linear unang order kaugalian equation sa ang pangkalahatang anyo ng equation ay maaaring nakasulat sa gayon ay: y '+ g (x) * y = z (x). Dapat itong clarified na z (x) at g (x) ay maaaring pare-pareho ang halaga.

Narito ang isang halimbawa: y '- y * x = x ^2.

Mayroong dalawang mga paraan upang malutas, at mag-order namin Suriin natin ang dalawang iyan. Ang unang - ang paraan ng pagkakaiba-iba ng arbitrary constants.

Upang malutas ang mga equation sa paraan na ito, ito ay kinakailangan upang equate ang unang na kanang bahagi sa zero, at lutasin ang mga nagresultang equation na kung saan matapos ang paglipat ng mga bahagi ay magiging:

y '= y * x;

dy / dx = y * x;

dy / y = Xdx;

ln | y | = x ^2/2 + C;

y = e ^{x2 / 2} * ^C y = C ₁ * e ^{x2 / 2.}

Ngayon ito ay kinakailangan upang palitan ang hindi nagbabagong C _1-on ang function v (x), na kung saan kami ay mahanap.

y = v * e ^{x2 / 2.}

Gumuhit ng isang kapalit na hinalaw:

^{y '= v' * e x2} / ² -x * v * e ^{x2 / 2.}

At substituting mga expression na ito sa orihinal na equation:

v '* e ^{x2 / 2} - x * v * e ^{x2 / 2} + x * v * e ^{x2 / 2} = x ^2.

Maaari mong makita na sa kaliwang bahagi ng dalawang termino ay nabawasan. Kung ang ilang mga halimbawa na hindi nangyari, pagkatapos nagawa mo na ang isang bagay na mali. Patuloy kaming:

v '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Ngayon kami ay malutas ang mga karaniwang equation kung saan nais mong upang paghiwalayin ang mga variable:

DV / dx = x ^{2 /} e ^x2 / ^2;

dv = x ² * e ^{- x2 / 2} dx.

Upang alisin ang integral, mayroon kaming upang ilapat ang pagkakabuo ng mga bahagi dito. Gayunpaman, ito ay hindi ang paksa ng artikulong ito. Kung ikaw ay interesado, maaari mong malaman sa kanilang sarili upang isagawa ang naturang mga aksyon. Ito ay hindi mahirap, at may sapat na kakayahan at pag-aalaga ay hindi ubos oras.

Nagre-refer sa ikalawang paraan ng ang solusyon ng inhomogeneous equation: Bernoulli paraan. Ano ang diskarte ay mas mabilis at mas madali - ito ay nakasalalay sa iyo.

Kaya, kapag paglutas ng ang paraan na ito, kailangan namin upang gawin ang paghalili: y = k * n. Dito, k at n - ang ilang mga function depende sa x. Pagkatapos ay ang mga hinalaw na ang magiging hitsura ng: y '= k' * n + k * n '. Kapalit ng dalawang pamalit sa equation:

k '* n + k * n ' + x * k * n = x ^2.

Group up:

k '* n + k * ( n' + x * n) = x ^2.

Ngayon ito ay kinakailangan upang equate sa zero, na nasa panaklong. Ngayon, kung pagsamahin mo ang dalawang nagreresulta equation, makuha namin ang isang sistema ng unang order kaugalian equation na lutasin:

n '+ x * n = 0;

k '* n = x ^2.

Ang unang-pantay magpasya kung paano karaniwang mga equation. Upang gawin ito, kailangan mo upang paghiwalayin ang mga variable:

dn / dx = x * v;

dn / n = Xdx.

Isinasaalang-alang namin ang mga integral at makuha namin ang: ln (n) = x ^2/2. Pagkatapos, kung tayo ay nagpapahayag n:

n = e ^{x2 / 2.}

Ngayon palitan ang mga nagresultang equation sa ikalawang equation:

k '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

At pagbabago, makuha namin ang parehong equation tulad ng sa unang paraan:

dk = x ^{2 /} e ^x2 / ^2.

Din namin ay hindi talakayin ang higit pang pagkilos. Sinasabing sa unang unang-order ng kaugalian equation na solusyon nagiging sanhi ng mumunti kahirapan. Gayunman, ang isang mas malalim na pagsasawsaw sa paksa ay nagsisimula upang makakuha ng mas mahusay at mas mahusay.

Nasaan ang mga kaugalian equation?

Very active kaugalian equation na ginagamit sa physics, tulad ng halos lahat ng mga pangunahing batas ay nakasulat sa kaugalian form, at mga formula, na ating nakikita - isang solusyon sa mga equation. Sa kimika, ang mga ito ay ginagamit para sa parehong dahilan: ang mga pangunahing batas ay hango sa pamamagitan ng mga ito. Sa biology, ang kaugalian equation ay ginagamit upang gawing modelo ang pag-uugali ng system, tulad ng mandaragit - biktima. Maaari din nilang gamitin upang lumikha ng mga modelo ng paggawa ng maraming kopya, halimbawa, mga kolonya ng mga microorganisms.

Tulad ng kaugalian equation ng tulong sa buhay?

Ang sagot sa katanungang ito ay simple: wala. Kung ikaw ay hindi isang siyentipiko o inhinyero, ito ay malamang na hindi na sila magiging kapaki-pakinabang. Gayunpaman, hindi nasaktan upang malaman kung ano ang mga kaugalian equation at ito ay malulutas para sa pangkalahatang pag-unlad. At pagkatapos ay ang tanong ng isang anak na lalaki o anak na babae, "kung ano ang kaugalian ng isang equation?" huwag maglagay sa iyo sa isang patay na dulo. Well, kung ikaw ay isang siyentipiko o inhinyero, at pagkatapos ay alam mo ang kahalagahan ng paksang ito sa anumang science. Ngunit pinaka-mahalaga, na ngayon sa tanong na "kung paano upang malutas ang kaugalian equation ng unang order?" ikaw ay palaging mong magbigay ng isang sagot. Sumang-ayon, ito ay laging maganda kapag mapagtanto mo na kung ano ang mga tao ay kahit na matakot upang malaman.

Ang pangunahing problema sa pag-aaral

Ang pangunahing problema sa pag-unawa sa paksang ito ay isang masamang ugali ng integration at pagkita ng kaibhan function. Kung ikaw ay hindi komportable TINATANGGAP derivatives at integrals, ito ay marahil nagkakahalaga ng higit pa upang matuto, upang matutunan ang iba't ibang mga paraan ng integration at pagkita ng kaibhan, at lamang pagkatapos ay magpatuloy sa pag-aaral ng materyal na na-inilarawan sa mga artikulo.

Ang ilang mga tao ay mabigla upang malaman na dx maaaring mailipat, tulad ng dati (sa paaralan) Nagtalo na ang mga maliit na bahagi dy / dx ay hindi nahahati. Pagkatapos ay kailangan mong basahin ang mga literatura sa mga hinalaw at maunawaan na ito ay ang saloobin ng walang hanggan maliit na dami, na maaaring manipulahin sa paglutas ng equation.

Maraming mga tao ay hindi kaagad mapagtanto na ang solusyon ng mga kaugalian equation ng unang order - ito ay madalas na isang function o neberuschiysya integral, at ito maling akala nagbibigay sa kanila ng isang pulutong ng mga problema.

Ano pa ang maaaring pinag-aralan upang mas mahusay na maunawaan?

Ito ay pinakamahusay na upang simulan ang karagdagang pagsasawsaw sa mundo ng mga kaugalian calculus ng mga pinasadyang mga aklat-aralin, halimbawa, sa matematikal na pagsusuri para sa mga estudyante ng mga non-mathematical na mga specialty. pagkatapos ay maaari mong ilipat sa mas specialized panitikan.

Sinasabing, bilang karagdagan sa mga kaugalian, may mga pa rin ng integral equation, kaya ikaw ay laging may isang bagay na nagsusumikap para sa at kung ano ang mag-aral.

konklusyon

Umaasa kami na pagkatapos ng pagbabasa ng artikulong ito ikaw ay magkakaroon ng isang ideya ng kung ano ang mga kaugalian equation at kung paano upang malutas ang mga ito nang tama.

Sa anumang kaso, matematika sa anumang paraan na kapaki-pakinabang sa atin sa buhay. Ito ay bubuo logic at pansin, nang walang kung saan ang bawat tao, bilang walang mga kamay.