Maclaurin at agnas ng ilang mga pag-andar

Pag-aaral advanced na matematika ay dapat magkaroon ng kamalayan na ang kabuuan ng isang serye ng kapangyarihan sa pagitan ng mga tagpo ng isang bilang ng mga sa amin, ay isang tuloy-tuloy at walang limitasyong bilang ng mga beses sa isang differentiated function. Ang tanong arises: ay posible na magtaltalan na ibinigay ng isang arbitrary function na f (x) - ay ang kabuuan ng isang serye ng kapangyarihan? Iyon ay, ang mga kundisyong ang f-tions f (x) ay maaaring kinakatawan ng isang serye ng kapangyarihan? Ang kahalagahan ng isyung ito ay na ito ay posible upang palitan ang humigit-kumulang £ Theological f (x) ay ang kabuuan ng ang unang ilang mga tuntunin ng isang serye ng kapangyarihan, iyon ay isang polinomyal. Ang ganitong mga isang kapalit function ay medyo simple expression - polynomial - ay maginhawa at sa paglutas ng mga tiyak na mga problema sa matematika na pagtatasa, lalo sa paglutas ng integrals kapag kinakalkula ang kaugalian equation , atbp ...

Ito ay pinatunayan, na para sa ilang mga f-ii f (x), kung saan ang mga derivatives ng (n +1) -ika-sunod maaaring kalkulahin, kabilang ang pinakabagong sa paligid ng (α - R; x ₀ + R) ng isang punto x = α makatarungang formula ay:

Ang formula na ito ay pinangalanang matapos ang sikat na scientist Brooke Taylor. Ang isang bilang ng mga na kung saan ay nagmula mula sa nakaraang isa, ay tinatawag na isang Maclaurin serye:

Isang panuntunan na ginagawang posible upang makabuo ng expansion sa isang serye Maclaurin:

1. Alamin derivatives ng una, ikalawa, ikatlo, ... pagkakasunod-sunod.
2. Kalkulahin ang kung ano ang mga derivatives sa x = 0.
3. Record Maclaurin serye para sa function na ito, at pagkatapos ay upang matukoy ang pagitan ng mga tagpo.
4. Alamin interval (-R; R), kung saan ang mga natitirang bahagi ng formula Maclaurin

R _n (x) -> 0 para sa n -> infinity. Kung ang isa ay umiiral, ito function na f (x) ay dapat na katumbas ng sum ng mga serye Maclaurin.

Isaalang-alang ngayon ang serye Maclaurin para sa indibidwal na mga pag-andar.

1. Kaya, ang unang na f (x) = e ^x. Of course, na ang kanilang mga katangian para f-Ia ay nagmula sa iba't ibang mga order, at f ^{(k) (x)} = e ^x, kung saan k ay katumbas ng lahat ng mga natural na mga numero. Kapalit x = 0. makuha namin f ^{(k) (0)} = e ⁰ = 1, k = 1,2 ... Batay sa mga naunang nabanggit, ang isang bilang ng mga e ^x Ito ay magiging tulad ng sumusunod:

2. Maclaurin serye para sa mga function na f (x) = kasalanan x. Kaagad tukuyin na f-tions para sa lahat ng mga hindi kilalang derivatives ay may, bukod f ^'(x) = cos x = kasalanan (x + n / 2), ^{f' '(x)} = -sin x = kasalanan (x + 2 * n / ²⁾ ..., f ^{(k) (x)} = kasalanan (x + n * k / 2), kung saan k ay katumbas ng anumang positibong integer. Iyon ay, paggawa ng mga simpleng mga kalkulasyon, maaari naming tapusin na ang serye para sa f (x) = kasalanan x ay magiging ganito:

3. Ngayon sabihin isaalang-alang Iju f-f (x) = cos x. Ito ay hindi kilala para sa lahat ng derivatives ng mga arbitrary na pagkakasunod-sunod, at ^{| f (k) (x)} | = | Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Muli, ito pagkakaroon ng ginawa ng ilang mga kalkulasyon, nakita namin na ang serye para sa f (x) = cos x magmumukhang ganito:

Kaya, kami ay nakalista ang pinaka-mahalagang mga tampok na maaaring pinalawak na sa isang serye Maclaurin, ngunit sila makadagdag sa mga serye Taylor para sa ilang function. Ngayon kami ay ilista ang mga ito pati na rin. Dapat din ay mapapansin na ang Taylor serye at Maclaurin serye ay isang mahalagang bahagi ng workshop serye ng mga desisyon sa mas mataas na matematika. Kaya, Taylor serye.

1. Ang una ay isang serye ng mga f-ii f (x) = ln (1 + x). Tulad ng sa mga nakaraang mga halimbawa, para sa kami f (x) = ln (1 + x) ay maaaring nakatiklop isang numero, gamit ang pangkalahatang anyo ng Maclaurin serye. ngunit para sa tampok na Maclaurin ay maaaring makuha mas madali. Pagsasama ng isang geometric series, kumuha kami ng isang bilang ng f (x) = ln (1 + x) ng sample:

2. At ang pangalawa, na kung saan ay huling sa artikulong ito, ay magiging isang serye para sa f (x) = arctg x. Para sa x-aari ng mga interbal na [-1; 1] ay may-bisa decomposition:

Iyon lang. Sa artikulong ito ako ay may surveyed ang pinakaginagamit na mga Taylor serye at Maclaurin serye sa mas mataas na matematika, lalo na sa pang-ekonomiya at teknikal na mga kolehiyo.