Geometriko pagpapatuloy. EXAMPLE na desisyon

Isaalang-alang ang isang hilera.

7 28 112 448 1792 ...

Lubos na malinaw na nagpapakita na ang halaga ng alinman sa mga elemento nito higit pa kaysa sa nakaraang eksaktong apat na beses. Kaya, serye na ito ay isang pagpapatuloy.

heometriko paglala tinatawag katapusang pagkakasunod-sunod ng mga numero, ang pangunahing tampok ng kung saan ay na ang mga sumusunod na numero ay nakuha mula sa itaas sa pamamagitan ng pag-multiply sa pamamagitan nito ang isang tiyak na numero. Ito ay ipinahayag sa pamamagitan ng mga sumusunod na formula.

_{z +1 = z · q} , kung saan z - bilang ng mga napiling mga elemento.

Alinsunod dito, z ∈ N.

Ang isang oras kapag paaralan ay nag-aral geometric paglala - ika-9 na grado. Mga halimbawa ay makakatulong na maunawaan ang mga konsepto:

0.25 0,125 0.0625 ...

Pebrero 18 6 ...

Batay sa formula, ang paglala ng denominator ay maaaring matagpuan tulad ng sumusunod:

Wala alinman q, o b _z ay hindi maaaring zero. Gayundin, bawat isa sa mga elemento ng isang serye ng mga numero na paglala ay hindi dapat maging zero.

Alinsunod dito, upang makita ang susunod na bilang ng isang numero, i-multiply sa huli sa pamamagitan ng q.

Upang tukuyin ang paglala, kailangan mong tukuyin ang unang elemento ng mga ito at ang denominator. Pagkatapos na ito ay posible na makahanap ng alinman sa mga sumusunod na miyembro at ang kanilang mga halaga.

uri ng hayop

Depende sa q at isang _1, ito paglala ay nahahati sa ilang mga uri:

• Kung ang isang _1, at q ay mas malaki kaysa sa isa, at pagkatapos ay isang pagkakasunod-sunod - ang pagtaas sa bawat sunud-sunod na elemento ng isang geometric paglala. Mga halimbawa nito ay nakadetalye sa ibaba.

Halimbawa: isang ₁ = 3, q = 2 - mas malaki kaysa sa pagkakaisa, sa parehong mga parameter.

Pagkatapos ay isang pagkakasunod-sunod ng mga numero ay maaaring nakasulat na bilang:

3 6 12 24 48 ...

• Kung | q | mas mababa kaysa sa isa, ibig sabihin, ito ay katumbas ng pagpaparami sa pamamagitan ng division, sa paglala na may katulad na mga kondisyon - nagpapababa ng geometriko pagpapatuloy. Mga halimbawa nito ay nakadetalye sa ibaba.

Halimbawa: isang ₁ = 6, q = 1/3 - isang ₁ ay mas malaki kaysa sa isa, q - mas mababa.

Pagkatapos ay isang pagkakasunod-sunod ng mga numero ay maaaring nakasulat tulad ng sumusunod:

Hunyo 2 2/3 ... - anumang elemento ng mas maraming mga elemento sumusunod na ito, ay 3 beses.

• Alternating. Kung q <0, ang mga palatandaan ng mga numero ng pagkakasunod-sunod alternating patuloy nang walang kinalaman sa isang _1, at ang mga elemento ng anumang pagtaas o pagbaba.

Halimbawa: isang ₁ = -3, q = -2 - Parehong mababa sa zero.

Pagkatapos ay isang pagkakasunod-sunod ng mga numero ay maaaring nakasulat na bilang:

3, 6, -12, 24, ...

pormula

Para sa maginhawang paggamit, mayroong maraming mga geometric progressions ng mga formula:

• Formula z-th term. Ito ay nagbibigay-daan sa pagkalkula ng mga sangkap sa isang tiyak na bilang nang walang pagkalkula ng mga nakaraang mga numero.

Halimbawa: q = 3, a = ₁ 4. kinakailangan upang makalkula ang isang ikaapat na elemento paglala.

Solusyon: a = ₄ 4 3 · ^4-1 · 3 = 4 ³ = 4 · 27 = 108.

• Ang kabuuan ng unang elemento, na ang bilang ay katumbas ng z. Ito ay nagbibigay-daan sa pagkalkula ng kabuuan ng lahat ng elemento sa isang pagkakasunod-sunod sa isang _z inclusive.

≠ 0, kaya, q ay hindi 1 - (q 1) Since (1- q) ay nasa denominator, at pagkatapos ay.

Tandaan: kung q = 1, pagkatapos ay ang paglala sana ay kinakatawan ng isang bilang ng endlessly paulit-ulit ang numero.

Halaga exponentially halimbawa: a ₁ = 2, q = -2. Kalkulahin S _5.

Solusyon: S ₅ = 22 - pagkalkula formula.

• Halaga kung | q | <1 at kapag z ay may gawi na infinity.

Halimbawa: isang ₁ = _2, q = 0.5. Hanapin ang sum.

Solusyon: S _z = 2 x = 4

Kung nakalkula namin ang kabuuan ng ilang mga kasapi ng manual, makikita mo na ito ay sa katunayan nakatuon sa apat.

S _z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0125 + 0.0625 = 3.9375 4

Ang ilang mga ari-arian:

• Ang isang katangi-arian. Kung ang mga sumusunod na kondisyon Ito humahawak para sa anumang z, at pagkatapos ay bibigyan ng isang de-numerong serye - isang geometric paglala:

_z ² = A _{z -1} · Ang isang _{z + 1}

• Ito rin ang square ng anumang numero ay exponentially sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga parisukat sa mga iba pang dalawang mga numero sa anumang naibigay na hilera, kung ang mga ito may parehong distansiyang mula sa element.

² ng _z = _{z - t} ² _{+ z} + _t ² kung saan t - ang distansya sa pagitan ng mga numero.

• Ang mga elemento ay naiiba sa pamamagitan ng q ulit.
• Ang logarithms ng ang mga elemento ng paglala pati na rin ang bumuo ng isang paglala, ngunit ang arithmetic, iyon ay, ang bawat isa sa kanila ng higit kaysa sa nakaraang isa sa pamamagitan ng isang tiyak na numero.

Mga halimbawa ng ilang mga klasikal na mga problema

Upang mas mahusay na maunawaan kung ano ang isang geometric paglala, na may mga halimbawa na desisyon para sa grade 9 makakatulong.

• Mga Tuntunin at kundisyon: a ₁ = 3, isang ₃ = 48. Find q.

Solusyon: sa bawat sunud-sunod na sangkap sa higit pa kaysa sa nakaraang q pagkakataon. Ito ay kinakailangan upang ipahayag ang ilang mga elemento sa pamamagitan ng isa sa pamamagitan ng denominator.

Bilang resulta, isang ₃ = q ² · isang ₁

Kapag substituting q = 4

• Kundisyon: isang ₂ = 6, isang = ₃ 12. Kalkulahin S _6.

Solusyon: Upang gawin ito, ito suffices upang mahanap q, sa unang elemento at kapalit sa formula.

₃ = q · _2, dahil dito, q = 2

isang ₂ = q · Ang isang _1, sa gayon a = ₁ 3

S = ₆ 189

• · Ang isang ₁ = 10, q = -2. Hanapin ang ika-apat na elemento ng paglala.

Solusyon: ito ay sapat na upang ipahayag ang ika-apat na elemento sa pamamagitan ng una at sa pamamagitan ng mga denominator.

₄ ³ = q · isang = ₁ -80

Halimbawa ng Application:

• Bank client ay nag-ambag sa kabuuan ng 10,000 Rubles, sa ilalim kung saan sa bawat taon sa client upang ang punong-guro na halaga ay idadagdag 6% ng mga ito kahit na. Kung magkano ang pera ay sa account pagkatapos ng 4 na taon?

Solusyon: Ang paunang halaga na katumbas sa 10 rubles. Kaya, sa isang taon pagkatapos ng pamumuhunan sa account ay ang halaga na katumbas ng 10000 + 10000 = 10000 · 0.06 · 1.06

Alinsunod dito, ang halaga sa account kahit na matapos ang isang taon ay ipinahayag bilang mga sumusunod:

(10000 · 1.06) · 10,000 · 0.06 + 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000

Iyon ay, sa bawat taon ang halaga ay nadagdagan sa 1.06 beses. Samakatuwid, upang mahanap ang numero ng account pagkatapos ng 4 na taon, ito suffices upang mahanap ang isang ikaapat na elemento paglala, na kung saan ay ibinigay sa unang elemento patas sa 10 thousand, at ang denominator katumbas ng 1.06.

S = 1.06 · 1.06 · 1.06 · 1.06 · 10000 = 12625

Mga halimbawa ng mga problema sa pag-compute ng kabuuan ng:

Sa iba't-ibang mga problema sa paggamit ng geometriko pagpapatuloy. Ang isang halimbawa ng paghahanap ng sum ay maaaring itakda bilang mga sumusunod:

isang ₁ = 4, q = 2, kalkulahin ang S _5.

Solusyon: lahat ng kinakailangang mga data para sa mga pagkalkula ay kilala, kapalit lang ito sa mga formula.

S ₅ = 124

• isang ₂ = 6, isang = ₃ 18. Kalkulahin ang kabuuan ng unang anim na mga elemento.

solusyon:

Ang Geom. ang pag-usad ng bawat elemento ng mga susunod na mas malaki kaysa sa nakaraang mga oras q, iyon ay, upang makalkula ang halaga na kailangan mong malaman ang elemento ng ₁ at ang denominator q.

isang ₂ · q = ₃

q = 3

Katulad nito, ang pangangailangan upang mahanap ang isang _1, isang ₂ at pag-alam q.

isang ₁ · q = isang ₂

isang ₁ = 2

At pagkatapos ay ito suffices upang palitan ang mga kilalang data sa ang halaga formula.

S ₆ = 728.