Differentials - ano ito? Paano upang mahanap ang kaugalian ng pag-andar?

Kasama ng mga derivatives ang kanilang mga pag-andar differentials - ito ang ilan sa mga pangunahing mga konsepto ng mga kaugalian calculus, ang mga pangunahing seksyon ng matematikal na pagsusuri. Bilang inextricably naka-link, parehong sa mga ito sa ilang mga siglo malawakang ginagamit sa paglutas ng halos lahat ng mga problema na lumitaw sa kurso ng pang-agham at teknikal na mga aktibidad.

Ang paglitaw ng mga konsepto ng mga kaugalian

Sa unang pagkakataon na ginawa ito malinaw na ang mga ganitong isang kaugalian, isa sa mga tagapagtatag (kasama ang Isaakom Nyutonom) kaugalian calculus sikat na German mathematician Gotfrid Vilgelm Leybnits. Bago iyon mathematicians ika-17 siglo. ginagamit very maliwanag at hindi malinaw na ideya ng ilan sa katiting na katiting "undivided" ng anumang mga kilalang function, na kumakatawan sa isang napakaliit na pare-pareho ang halaga ngunit hindi katumbas ng zero, sa ibaba kung anong pamantayan ang pag-andar ay hindi maaaring maging simple. Kaya ito ay lamang ng isang hakbang sa pagpapakilala ng notions ng katiting na katiting palugit na argumento ng function at ang kanilang mga palugit sa mga function na maaaring ipinahayag sa mga tuntunin ng derivatives ng huli. At ang hakbang na ito ay kinuha halos sabay-sabay sa itaas dalawang mahusay na siyentipiko.

Batay sa mga pangangailangan upang matugunan ang kagyat na praktikal na mechanics problema na hinaharap ng agham mabilis na umuunlad na industriya at teknolohiya, Newton at Leibniz nilikha ang mga karaniwang paraan ng paghahanap ng pag-andar ng ang rate ng pagbabago (lalo na patungkol sa mechanical bilis ng katawan sa mga kilalang trajectory), na kung saan ang humantong sa pagpapakilala ng naturang mga konsepto, bilang ang hinangong function at ang mga kaugalian, at din natagpuan ang algorithm na kabaligtaran problema solusyon bilang kilala per se (variable) bilis traversed upang mahanap ang path na ay humantong sa ang konsepto ng integral Ala.

Sa mga gawa ng Leibniz at Newton 's ideya unang ito ay lumitaw na ang differentials - ay proporsyonal sa pagdagdag sa mga pangunahing argumento Δh increments Δu function na maaaring matagumpay na inilalapat upang makalkula ang halaga ng huli. Sa ibang salita, sila ay may natuklasan na ang isang increment function na ay maaaring sa anumang punto (sa loob ng kanyang domain ng kahulugan) ay ipinahayag sa pamamagitan ng kanyang mga kinopyang parehong Δu = y '(x) Δh + αΔh kung saan α Δh - nalalabi, tending sa zero bilang Δh → 0, magkano ang mas mabilis kaysa sa aktwal na Δh.

Ayon sa mga tagapagtatag ng matematikal na pagsusuri, ang differentials - ito ay eksakto ang unang kataga sa mga palugit ng anumang function. Kahit na walang pagkakaroon ng isang malinaw na tinukoy na limitasyon konsepto sequences ay nauunawaan intuitively na ang mga kaugalian na halaga ng mga hinalaw na may gawi na gumana kapag Δh → 0 - Δu / Δh → y '(x).

Hindi tulad ng Newton, na una ng isang pisiko at matematika kasangkapan itinuturing bilang isang pandiwang pantulong tool para sa pag-aaral ng pisikal na mga problema, Leibniz bayad mas pansin sa toolkit ito, kabilang ang isang sistema ng visual at maaaring maunawaan simbolo matematikal na halaga. Ito ay siya na iminungkahi ang standard notation ng differentials function na dy = y '(x) dx, dx, at ang mga kinopyang ng argument pag-andar bilang kanilang relasyon y' (x) = dy / dx.

Ang modernong kahulugan

Ano ang mga kaugalian sa mga tuntunin ng makabagong matematika? Ito ay malapit na nauugnay sa ang konsepto ng isang variable pagdagdag. Kung ang variable y ay tumatagal ng isang unang halaga ng y y = _1, at pagkatapos ay y = y _2, ang pagkakaiba y ₂ ─ y ₁ ay tinatawag na increment halaga y. increment ay maaaring maging positibo. negatibo at zero. Ang salitang "increment" ay itinalaga Δ, Δu record (basahin ang 'delta y') nagsasaad ng halaga ng pagdagdag y. kaya Δu = y ₂ ─ y _1.

Kung ang halaga Δu arbitrary function na y = f (x) ay maaaring kinakatawan bilang Δu = A Δh + α, kung saan A kailangang umasa sa mga Δh, t. E. A = const para sa naibigay na x, at ang terminong α kapag Δh → 0 gawi na ito ay mas mabilis kaysa sa aktwal na Δh, pagkatapos ay ang unang ( "master") isang term proportional Δh, at ito ay para sa y = f (x) kaugalian, naka-denote dy o df (x) (basahin ang "y de", "de eff mula sa X"). Samakatuwid differentials - isang "main" linear na may paggalang sa ang mga bahagi ng mga palugit Δh function.

paliwanag tungkol sa makina

Let s = f (t) - ang distansya sa isang tuwid na linya paglipat ng materyal na punto mula sa panimulang posisyon (t - travel time). Increment Δs - ay ang paraan point sa panahon ng agwat ng oras Δt, at ang mga kaugalian ds = f '(t) Δt - ito landas, kung saan punto ay hawak para sa parehong panahon Δt, kung mananatili ito sa bilis f' (t), umabot sa oras t . Kapag ang isang katiting na katiting Δt ds isip na landas ay naiiba mula sa mga aktwal na Δs infinitesimally pagkakaroon ng isang mas mataas na pagkakasunod-sunod na may paggalang sa Δt. Kung ang bilis sa oras t ay hindi katumbas ng zero, ang tinatayang halaga ds ay nagbibigay sa maliit na bias point.

geometriko interpretasyon

Hayaan ang linya L ay ang graph ng y = f (x). Pagkatapos Δ x = MQ, Δu = QM '(makita. Figure sa ibaba). Tangent MN Pinaghihiwa Δu i-cut sa dalawang bahagi, QN at NM '. Una at Δh ay proporsyonal QN = MQ ∙ tg (angle QMN) = Δh f '(x), t. E QN ay dy kaugalian.

Ang ikalawang bahagi ng ang pagkakaiba Δu NM'daet ─ dy, kapag Δh → 0 NM length 'Bumababa mas mabilis kaysa sa pagdagdag ng argument, ibig sabihin, ito ay ang pagkakasunud-sunod ng kaliitan mas mataas kaysa sa Δh. Sa kasong ito, kung f '(x) ≠ 0 (non-parallel tangent OX) segment QM'i QN katumbas; sa ibang salita NM 'nababawasan mabilis (pagkakasunud-sunod ng kaliitan ng kanyang mas mataas) kaysa sa kabuuan ng increment Δu = QM'. Ito ay maliwanag sa Figure (papalapit na segment M'k M NM'sostavlyaet ang lahat ng mga mas maliit na porsyento QM 'segment).

Kaya, graphically kaugalian arbitrary function ay katumbas ng pagdagdag ng ordinate ng padaplis.

Hango at kaugalian

Ang isang kadahilanan sa unang termino ng expression pagdagdag function ay katumbas ng halaga ng kanyang mga kinopyang f '(x). Kaya, ang mga sumusunod na may kaugnayan - dy = f '(x) Δh o df (x) = f' (x) Δh.

Ito ay kilala na ang pagdagdag ng mga independiyenteng argument ay katumbas nito na kaugalian Δh = dx. Alinsunod dito, maaari naming magsulat ng: f '(x) dx = dy.

Paghahanap (kung minsan ay sinabi na maging ang "desisyon") differentials ay ginanap sa pamamagitan ng ang parehong mga panuntunan bilang para sa mga derivatives. Ang isang listahan ng mga ito ay ibinigay sa ibaba.

Ano ang higit pa unibersal: ang paglakas ng argument o ang kaugalian

Narito ito ay kinakailangan upang gumawa ng ilang paglilinaw. Representasyon halaga f '(x) kaugalian Δh posible kapag isinasaalang-alang x bilang isang argument. Ngunit ang pag-andar ay maaaring maging isang mahirap unawain, na kung saan x ay maaaring maging isang function ng argument t. Pagkatapos ay ang representasyon ng mga kaugalian pagpapahayag ng f '(x) Δh, bilang isang panuntunan, ito ay imposible; maliban sa kaso ng pahaba-asa x = sa + b.

Tulad ng sa formula f '(x) dx = dy, at pagkatapos ay sa kaso ng mga independiyenteng argument x (pagkatapos dx = Δh) sa kaso ng parametric pagpapakandili ng x t, ito ay kaugalian.

Halimbawa, ang expression 2 x Δh ay para sa y = x ² sa kanyang kaugalian kapag x ay isang argument. Kami ngayon ay x = t ² at ipinapalagay t argument. Pagkatapos y = x ² = t ^4.

Ito ay sinusundan ng (t + Δt) ² = t ² + 2tΔt + Δt ^2. Kaya Δh = 2tΔt + Δt ^2. Samakatuwid: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + Δt ^2).

expression na ito ay hindi kabagay sa Δt, at samakatuwid ay ngayon 2xΔh ay hindi kaugalian. Maaari itong makita mula sa equation y = x ² = t ^4. Ito ay katumbas dy = 4t ³ Δt.

Kung namin ang expression 2xdx, ito ay ang kaugalian y = x ² para sa anumang mga argument t. Sa katunayan, kapag x = t ² makakuha dx = 2tΔt.

Kaya 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ .DELTA.t, t. E. Ang pagpapahayag differentials naitala sa pamamagitan ng dalawang magkaibang mga variable nag-tutugma.

Kapag pinalitan palugit differentials

Kung f '(x) ≠ 0, pagkatapos ay Δu at dy katumbas (kapag Δh → 0); kung f '(x) = 0 (kahulugan at dy = 0), ang mga ito ay hindi katumbas.

Halimbawa, kung ang y = x ^2, pagkatapos ay Δu = (x + Δh) ² ─ x ² = 2xΔh + Δh ² at dy = 2xΔh. Kung x = 3, pagkatapos kami ay may Δu = 6Δh + Δh ² at dy = 6Δh na katumbas dahil Δh ² → 0, kapag x = 0 halaga Δu = Δh ² at dy = 0 ay hindi katumbas.

Ang katotohanang ito, kasama ang mga simpleng istraktura ng kaugalian (m. E. Linearity na may paggalang sa Δh), ay madalas na ginagamit sa tinatayang pagkalkula, sa pagpapalagay na Δu ≈ dy para sa mga maliliit Δh. Hanapin ang mga kaugalian function ay karaniwang mas madali kaysa upang makalkula ang eksaktong halaga ng pagdagdag.

Halimbawa, kami ay may metallic kubo sa gilid x = 10.00 cm. Sa pag-init ng gilid lengthened sa Δh = 0,001 cm. Paano nadagdagan ng lakas ng tunog kubo V? Mayroon kaming V = x ^2, upang ang DV = 3x ² = Δh 3 ∙ ∙ Pebrero ¹⁰ 0/01 = 3 (cm ^3). Tumaas ΔV katumbas na kaugalian DV, kaya na ΔV = 3 cm ^3. Buong pagkalkula ay magbibigay ³ ΔV = 10,01 ─ Marso ¹⁰ = 3.003001. Ngunit ang resulta ng lahat ng mga numero maliban sa unang hindi maaasahan; samakatuwid, ito ay pa rin na kinakailangan upang isalin ang hanggang sa 3 cm ^3.

Malinaw na, lumapit na ito ay kapaki-pakinabang lamang kung ito ay posible upang matantya ang halaga ng imparted sa kamalian.

Differential function: mga halimbawa

Subukan upang mahanap ang mga kaugalian ng pag-andar y = x ^3, paghahanap ng mga hinalaw na ipaalam. Ipaalam sa amin bigyan ang argument increment Δu at tukuyin.

Δu = (Δh + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + Δh (Δh 3xΔh ² + ^3).

Dito, ang koepisyent A = 3x ² ay hindi nakadepende sa Δh, kaya na ang unang kataga ay proportional Δh, ang iba pang miyembro 3xΔh Δh ² + ³ kapag Δh → 0 nababawasan mas mabilis kaysa sa pagdagdag ng mga argumento. Dahil dito, isang miyembro ng 3x ² Δh ay ang kaugalian ng y = x ^3:

dy = 3x ² Δh = 3x ² dx o d (x ³⁾ = 3x ² dx.

Na ito ang d (x ³⁾ / dx = 3x ^2.

Dy Kami ngayon ay ang pag-andar y = 1 / x sa pamamagitan ng derivative. Pagkatapos d (1 / x) / dx = ─1 / x ^2. Samakatuwid dy = ─ Δh / x ^2.

Differentials pangunahing algebraic function ay ibinigay sa ibaba.

Tinatayang pagkalkula gamit ang kaugalian

Upang pag-aralan ang pag-andar f (x), at ang mga hinalaw na f '(x) sa x = a ay madalas na mahirap, ngunit upang gawin ang parehong sa paligid ng x = a ay hindi madali. Pagkatapos ay dumating sa aid ng humigit-kumulang na expression

f (a + Δh) ≈ f '(a) Δh + f (a).

Ito ay magbibigay sa isang tinatayang halaga ng pag-andar sa maliit na mga palugit sa pamamagitan ng kanyang kaugalian Δh f '(a) Δh.

Samakatuwid, ang formula ay nagbibigay ng isang tinatayang expression para sa ang pag-andar sa end point ng isang bahagi ng isang haba Δh bilang kabuuan ng kanyang halaga sa ang panimulang punto ng ang bahagi (x = a) at ang mga kaugalian sa parehong panimulang punto. Katumpakan ng mga pamamaraan para sa pagtukoy ng halaga ng pag-andar sa ibaba ay naglalarawan ng pagguhit.

Gayunman kilala at ang eksaktong expression para sa halaga ng pag-andar x = a + Δh ibinigay sa pamamagitan ng formula hangganan palugit (o, Bilang kahalili, ni Lagrange formula)

f (a + Δh) ≈ f '(ξ) Δh + f (a),

kung saan ang point x = a + ξ ay nasa pagitan mula sa x = a sa x = a + Δh, bagaman nito eksaktong posisyon ay hindi kilala. Ang eksaktong formula ay nagbibigay-daan upang suriin ang mga error ng humigit-kumulang formula. Kung kami ay ilagay sa Lagrange formula ξ = Δh / 2, kahit na ito ceases upang maging tumpak, ngunit nagbibigay, bilang isang panuntunan, ang isang mas mas mahusay na diskarte kaysa sa orihinal na expression sa mga tuntunin ng mga kaugalian.

Pagsusuri formula error sa pamamagitan ng paglalapat na kaugalian

Pagsukat ng mga instrumento , sa prinsipyo, hindi tumpak, at dalhin sa ang data ng pagsukat na naaayon sa error. Sila ay characterized sa pamamagitan ng paglilimita ang ganap na error, o, sa madaling salita, ang limitasyon error - positibo, malinaw na lalampas sa error sa absolute value (o hindi hihigit sa katumbas ng ito). Paglilimita ng kamag-anak error ay tinatawag na quotient nakuha sa pamamagitan ng paghahati nito sa pamamagitan ng absolute value ng sinusukat halaga.

Hayaan eksaktong formula y = f (x) function na ginagamit upang vychislyaeniya y, ngunit ang halaga ng x ay ang mga resulta ng pagsukat, at samakatuwid ay nagdadala ng y error. Pagkatapos, upang mahanap ang takda sa absolute error │Δu│funktsii y, gamit ang formula

│Δu│≈│dy│ = │ f '(x) ││Δh│,

kung saan │Δh│yavlyaetsya marginal error argument. │Δu│ dami ay dapat na bilugan pataas, tulad ng hindi tumpak pagkalkula mismo ay ang kapalit ng pagdagdag sa kaugalian pagkalkula.