Ang isang sistema ng mga linear algebraic equation. Homogenous na sistema ng linear algebraic equation

Sa paaralan, bawat isa sa atin-aral ng equation at, tiyak, ang sistema ng mga equation. Ngunit hindi maraming tao malaman na may ilang mga paraan upang malutas ang mga ito. Ngayon ay namin makita nang eksakto ang lahat ng mga pamamaraan para sa paglutas ng isang sistema ng linear algebraic equation, na kung saan ay binubuo ng higit sa dalawang equation.

kuwento

Ngayon alam namin na ang sining ng paglutas ng equation at ang kanilang mga sistema nagmula sa sinaunang Babilonya at Ehipto. Gayunman, ang pagkakapantay-pantay sa kanilang mga pamilyar na form ay nagpakita sa amin pagkatapos ng paglitaw ng katumbas sign "=", na kung saan ay ipinakilala sa 1556 sa pamamagitan ng Ingles mathematician record. Siya nga pala, simbolong ito ay napili para sa isang dahilan: ang ibig sabihin nito dalawang parallel pantay na segment. Sa katunayan, ang pinakamahusay na halimbawa ng pagkakapantay-pantay ay hindi dumating up.

Ang tagapagtatag ng modernong lettering at mga simbolo ng mga hindi kilalang mga lawak, ang French mathematician Fransua Viet. Gayunpaman, ang pagtatalaga ay makabuluhang naiiba mula sa araw na ito. Halimbawa, ang isang square ng isang hindi kilalang bilang siya ay itinalaga ng sulat Q (lat "Quadratus".), At ang kubo - (. Lat "CUBUS") ang titik C. Ang mga simbolo na ngayon ay tila hindi komportable, ngunit pagkatapos ay ito ay ang pinaka-intuitive na paraan upang magsulat ng isang sistema ng mga linear algebraic equation.

Gayunman, ang isang dehado sa mga nangingibabaw na paraan ng solusyon ay na mathematicians ay may isinasaalang-alang lamang ang mga positibong mga pinagmulan. Marahil ito ay dahil sa ang katunayan na ang mga negatibong halaga ay hindi magkaroon ng anumang mga praktikal na application. Ang isang paraan o sa iba pang, ngunit ang unang upang maisaalang-alang negatibong ugat ay nagsimula pagkatapos ng Italian matematika Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano at Raphael Bombelli noong ika-16 siglo. Isang modernong hitsura, ang pangunahing paraan ng paglutas ng mga parisukat equation (sa pamamagitan ng discriminant) ay itinatag lamang sa ika-17 siglo sa pamamagitan ng mga gawa ng Descartes at Newton.

Sa gitna ng ika-18 siglo Swiss matematiko Gabriel Cramer natagpuan ng isang bagong paraan upang gumawa ng mga solusyon ng sistema ng linear na equation mas madali. Ang pamamaraan na ito sa kalaunan ay ipinangalan sa kanya, at sa araw na ito gamitin natin ito. Ngunit sa ang paraan ng talk ni Kramer isang maliit na mamaya, ngunit sa ngayon kami ay talakayin ang mga linear na equation at ang kanilang mga solusyon nang hiwalay mula sa system.

linear na equation

Linear equation - ang pinakasimpleng equation na may variable (s). Nabibilang sila sa algebraic. Linear equation nakasulat sa pangkalahatang form bilang mga sumusunod: a ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... at _n * x _n = b. Pagsusumite ng form na ito kami ay kailangan sa paghahanda ng mga sistema at matrices sa.

Ang isang sistema ng mga linear algebraic equation

Ang kahulugan ng term na ito ay: isang set ng mga equation na may karaniwang mga unknowns at ang pangkalahatang solusyon. Kadalasan, sa paaralan ang lahat malulutas ng isang sistema na may dalawa o kahit na tatlong equation. Ngunit may mga sistema na may apat o higit pang mga bahagi. Tingnan natin muna kung paano upang isulat ang mga ito nang sa gayon ay mamaya na malapit ito upang malutas Hayaan. Una, ang sistema ng mga linear algebraic equation ay magmukhang mas mahusay kung ang lahat ng mga variable ay nakasulat na tulad ng x sa nararapat na index: 1,2,3 at iba pa. Pangalawa, dapat itong humantong ang lahat ng mga equation sa canonical form: isang ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... at _n * x _n = b.

Matapos ang lahat ng mga hakbang na ito, maaari naming magsimula sabihin sa iyo kung paano hanapin ang solusyon ng sistema ng mga guhit equation. Napaka para sa na ay darating sa madaling-magamit matrix.

matris

Matrix - isang talahanayan na binubuo ng mga hilera at haligi, at mga elemento nito ay sa kanilang mga intersection. Ito ay maaaring maging alinman sa isang tiyak na halaga o variable. Sa karamihan ng mga kaso, upang maitalaga element na nakaayos sa ilalim ng subscripts (hal, isang ₁₁ o ₂₃ na rin). Ang unang index ay nagpapahiwatig ng bilang hilera, at ang pangalawang - ang haligi. Sa itaas matrices tulad ng nasa itaas at anumang iba pang mga matematikal na sangkap ay maaaring magsagawa ng iba't ibang mga operasyon. Kaya, maaari kang:

1) Magbawas at idagdag ang parehong sukat ng mga mesa.

2) I-multiply ang matrix sa anumang numero o vector.

3) Pagpalitin ng lugar: ibahin ang anyo matrix mga linya sa mga haligi, at ang mga haligi - sa linya.

4) I-multiply ang matrix, kung ang bilang ng mga hilera ay katumbas ng isa sa kanila ng isang iba't ibang mga bilang ng mga haligi.

Upang talakayin nang detalyado ang lahat ng mga pamamaraan na ito, pati na ang mga ito ay kapaki-pakinabang sa amin sa hinaharap. Subtraction at pagdagdag ng mga matrices ay napaka-simple. Dahil lubos naming ang parehong laki matrix, ang bawat elemento ng isang talahanayan ay kaugnay sa bawat iba pang mga elemento. Kaya naming magdagdag ng (ibawas) dalawa sa mga elementong ito (ito ay mahalaga na sila ay nakatayo sa parehong lupa sa kanilang mga matrices). Kapag multiply sa bilang ng matrix o vector kailangan lang i-multiply sa bawat elemento ng matris sa pamamagitan ng na numero (o vector). Transposisyon - isang napaka-kagiliw-giliw na proseso. Very kagiliw-giliw na minsan upang makita siya sa totoong buhay, halimbawa, kapag ang pagbabago ng oryentasyon ng isang tablet o telepono. Ang mga icon sa desktop ay isang matrix, at may isang pagbabago ng posisyon, ito ay transpose at nagiging mas malawak na, ngunit nababawasan ang taas.

Ipaalam sa amin suriin ang higit pa sa isang proseso tulad ng matrix multiplication. Kahit na sinabi niya sa amin, at ito ay hindi kapaki-pakinabang, ngunit magkaroon ng kamalayan na ito ay kapaki-pakinabang pa rin. Multiply ng dalawang matrices ay maaaring maging lamang sa ilalim ng kondisyon na ang bilang ng mga haligi sa isa talahanayan ay katumbas ng bilang ng mga hilera isa. Ngayon, ilipat ang mga elemento ng isang matrix linya at iba pang mga elemento ng kaukulang haligi. I-multiply ang mga ito sa bawat isa at pagkatapos ay sum (ibig sabihin, halimbawa, ang isang produkto ng mga elemento ₁₁ at ₁₂ at sa ₁₂ b at ₂₂ b ay katumbas ng: a * b _{11 12} + ₁₂ * b at _22). Samakatuwid, ang isang solong table na item, at isang paraan na katulad ng ito ay napuno pa.

Ngayon ay maaari naming simulan upang isaalang-alang kung paano upang malutas ang sistema ng mga guhit equation.

gauss

Ang temang ito ay nagsimulang maganap sa paaralan. Alam na alam namin ang konsepto ng "sistema ng dalawang mga linear na equation" at alam kung paano upang malutas ang mga ito. Ngunit ano kung ang bilang ng mga equation ay mas malaki kaysa sa dalawang? Ito ay makakatulong sa amin gauss 's paraan.

Of course, ang paraan na ito ay maginhawa upang gamitin, kung gumawa ka ng isang matrix ng system. Ngunit hindi mo maaaring i-convert ito at magpasya sa kanyang sarili.

Kaya, kung paano upang malutas ito sa pamamagitan ng isang sistema ng mga guhit equation gauss? Sa pamamagitan ng ang paraan, kahit na ang paraan na ito at ipinangalan sa kanya, ngunit natuklasan ito noong unang panahon. Gauss ay isang operasyon natupad sa equation, upang sa huli ay magreresulta sa kalahatan sa mataas na lebel form. Iyon ay, kailangan mong top-down (kung tama ang lugar) mula sa unang sa huling equation waned isang hindi kilala. Sa ibang salita, kailangan namin upang matiyak na nakuha namin, sabihin, tatlong equation: ang unang - tatlong unknowns, sa pangalawang - dalawang sa ikatlong - isa. Pagkatapos, mula sa huling equation, nakita namin ang unang hindi kilala, kapalit ng halaga nito sa ikalawang o ang unang equation, at karagdagang hanapin ang natitirang dalawang variable.

Cramer ng patakaran

Para sa pag-unlad ng diskarteng ito ay mahalaga sa master ang mga kasanayan ng karagdagan, pagbabawas ng matrices, pati na rin ang kailangan upang magagawang upang makahanap ng determinants. Samakatuwid, kung ikaw ay hindi komportable paggawa nito ang lahat o hindi alam kung paano, ito ay kinakailangan upang matuto at maging bihasa.

Ano ang kakanyahan ng ang paraan na ito, at kung paano gawin ito, upang makakuha ng isang sistema ng mga guhit equation Cramer? Ito ay napaka-simple. Kailangan namin upang bumuo ng isang matrix ng mga numero (halos palaging) sa coefficients ng isang sistema ng mga linear algebraic equation. Upang gawin ito, kailangan lang gawin ang bilang ng mga hindi kilala, at kami magsagawa ng isang table sa pagkakasunud-sunod na sila ay maitatala sa sistema. Kung bago ang numero ay isang mag-sign "-", at pagkatapos namin magsulat ng negatibong koepisyent. Kaya, gumawa kami ng unang matrix ng mga coefficients ng mga unknowns, hindi kabilang ang bilang pagkatapos ng equal sign (siyempre, na ang equation ay dapat bawasan sa canonical form kapag kanan ay lamang ng isang numero, at sa kaliwa - ang lahat ng mga unknowns na may coefficients). Pagkatapos ay kailangan mong gumawa ng ilang mga matrices - isa para sa bawat variable. Para sa layuning ito, sa unang matrix ay napalitan ng isang hanay sa bawat numero ng haligi na may coefficients pagkatapos ng katumbas sign. Kaya makuha namin ang ilang mga matrices at pagkatapos ay mahanap ang kanilang mga determinants.

Pagkatapos nakita namin ang qualifiers, ito ay maliit. Mayroon kaming isang paunang matrix, at may mga ilang mga nagmula matrices, na tumutugma sa iba't ibang mga variable. Upang makakuha ng isang sistema ng solusyon, hinati namin ang tiyak na dahilan ng mga nagresultang talahanayan sa pangunahing determinant ng table. Ang resultang bilang ay ang halaga ng isang variable. Katulad nito, nakita namin ang lahat ng mga unknowns.

ibang mga paraan

Mayroong ilang mga paraan upang makuha ang solusyon ng sistema ng mga guhit equation. Halimbawa, ang isang tinatawag na gauss-Jordan na paraan, na kung saan ay ginagamit para sa paghahanap ng mga solusyon ng sistema ng parisukat equation, at din ay may kinalaman sa paggamit ng mga matrices. Mayroon ding isang Jacobi paraan para sa paglutas ng isang sistema ng linear algebraic equation. Siya madaling adapts sa lahat ng mga computer at ay ginagamit sa computing.

kumplikadong mga kaso

Pagiging kumplikado karaniwang nangyayari kung ang bilang ng mga equation ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga variable. Pagkatapos ay maaari naming tiyak na sabihin na, o ang sistema ay paiba-iba (ie, ay walang mga ugat), o ang bilang ng kanyang mga desisyon ay may gawi na infinity. Kung mayroon kaming pangalawang kaso - ito ay kinakailangan upang isulat ang pangkalahatang solusyon ng sistema ng mga guhit equation. Ito ay isama ang hindi bababa sa isang variable.

konklusyon

Narito kami dumating sa dulo. Upang ibuod: kami ay may upang maunawaan kung ano ang sistema ng matrix, natutunan upang mahanap ang pangkalahatang mga solusyon ng isang sistema ng mga guhit equation. Sa karagdagan kami ay isinasaalang-alang ng iba pang mga pagpipilian. Kami ay may korte out kung paano upang malutas ang sistema ng mga guhit equation: Gaussian eliminasyon at Cramer ng patakaran. Usapan natin ang tungkol mahihirap na kaso at iba pang mga paraan ng paghahanap ng mga solusyon.

Sa katunayan, ang isyu na ito ay mas malawak, at kung gusto mong mas mahusay na maunawaan ito, payuhan ka namin na basahin ang higit pa sa mga pinasadyang mga panitikan.